2. Системы счисления. Перевод чисел

 Система счисления – принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на 2 класса: позиционные и непозиционные. Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления.

 В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления: 

Знак «запятая» отделяет целую часть от дробной. P – основание системы счисления. Таким образом, значение каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Именно поэтому такие системы счисления называют позиционными.

Например (индекс внизу указывает основание системы счисления):

 («шестьсот девяносто два» с формальной точки зрения представляется в виде: «шесть умножить на десять в степени два, плюс девять умножить на десять в степени один, плюс два»);

 При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, десятичную и шестнадцатеричную). Поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую. Во всех приведенных выше примерах результат является десятичным числом, и, таким образом, способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную уже продемонстрирован.

 Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основанием P, необходимо разделить ее на P. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на P – остаток даст следующий разряд числа и т.д. Для перевода дробной части ее необходимо умножить на P. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произведения необходимо вновь умножить на P. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т. д.

 Кроме позиционных систем счисления существуют такие, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными. Наиболее известным примером непозиционной системы является римская. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, C, D, M), которые соответствуют следующим величинам:

  

I(1)     V(5)     X(10)     L(50)     C(100)     D(500)     M(1000)

 

 Например: III (три), LIX (пятьдесят девять), DLV (пятьсот пятьдесят пять).

 Недостатком непозиционных систем является отсутствие формальных правил записи чисел и арифметических действий над ними.

 Двоичная система счисления.

 Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков: 0 и 1.

 Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную.

 Целая и дробная части переводятся порознь. Для перевода целой части (или просто целого числа) необходимо разделить ее на новое основание системы счисления (на 2) и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0 или меньше делителя. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число.

 Число можно перевести из двоичной системы в десятичную следующим образом:

 Для перевода дробной части числа надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь может стать при этом бесконечной двоичной. Например:

 Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить различные арифметические операции. Для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать таблицы: